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# work1. 01背包问题
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# 设 dp[i][w] 表示在背包容量为 w 时，前 i 个物品能够达到的最大总价值。
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# 状态转移方程：
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# 对于第 i 个物品，存在两种情况：
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# 如果第 i 个物品的重量大于当前背包容量 w，则无法放入背包，此时 dp[i][w] 等于 dp[i-1][w]，即不放入该物品。
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# 如果第 i 个物品的重量小于等于当前背包容量 w，则考虑放入或不放入背包两种情况，取其中价值更大的情况。
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# 如果放入第 i 个物品，则总价值为 values[i] + dp[i-1][w-weights[i]]。
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# 如果不放入第 i 个物品，则总价值为 dp[i-1][w]。
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# 综合考虑以上两种情况，dp[i][w] 的值为这两种情况中的较大值。
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# 初始化：
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# 当没有物品可选时，背包能够达到的最大总价值为0，即 dp[0][w] = 0，其中 w 取值为0到背包容量 capacity。
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# 填充数组：
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# 使用两层循环填充 dp 数组，外层循环遍历物品，内层循环遍历背包容量，根据状态转移方程更新 dp[i][w] 的值。
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# 回溯：
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# 根据 dp 数组中存储的最优解，找出放入的是哪些物品。
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# 返回结果：
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def knapsack(weights: list[int], values: list[int], capacity: int) -> int:
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n = len(weights)
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# 创建一个二维数组来存储子问题的解
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dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]
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# 填充dp数组
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for i in range(1, n + 1):
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for w in range(1, capacity + 1):
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# 如果当前物品的重量大于背包容量，则不能放入背包
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if weights[i - 1] > w:
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dp[i][w] = dp[i - 1][w]
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else:
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# 考虑放入或不放入当前物品，选择其中价值更大的方案
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dp[i][w] = max(dp[i - 1][w], values[i - 1] + dp[i - 1][w - weights[i - 1]])
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# 找出放入背包的物品
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selectedItems = []
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i, w = n, capacity
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while i > 0 and w > 0:
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if dp[i][w] != dp[i - 1][w]:
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selectedItems.append(i - 1)
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w -= weights[i - 1]
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i -= 1
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return dp[n][capacity], selectedItems
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# 测试
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weights = [10, 20, 30, 40, 50]
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values = [50, 120, 150, 210, 240]
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capacity = 50
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max_value, selected_items = knapsack(weights, values, capacity)
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print("最大价值:", max_value)
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print("选择的物品索引:", selected_items) |